CONSTEEL

La torsione rappresenta, tra le sollecitazioni elementari, una delle più complesse da trattare nel calcestruzzo armato. A differenza della flessione e del taglio, per le quali la letteratura scientifica e le normative forniscono modelli consolidati da decenni, la torsione richiede ancora oggi particolare attenzione in fase progettuale, soprattutto quando agisce in combinazione con altre azioni interne.

Il presente articolo si propone di fornire una sintesi operativa dei fondamenti del comportamento torsionale, dei modelli di calcolo recepiti dalle Norme Tecniche per le Costruzioni (NTC 2018) e dall’Eurocodice 2 (UNI EN1992-1-1) e della prassi progettuale consolidata per la disposizione delle armature. Viene infine presentato un breve esempio applicativo di verifica e progetto, con l’obiettivo di offrire al progettista uno strumento chiaro e immediatamente utilizzabile.

Per valori del momento torcente inferiori al momento di fessurazione T_cr, definito come il valore del momento torcente per il quale si raggiunge la tensione di trazione limite del calcestruzzo, il comportamento dell’elemento si mantiene in campo elastico – lineare. In questa fase, il calcestruzzo è in grado di equilibrare interamente le tensioni principali di trazione indotte dalla torsione e le tensioni tangenziali possono essere valutate mediante la teoria di De Saint Venant. Il contributo dell’armatura alla resistenza torsionale è trascurabile, in quanto le tensioni vengono interamente assorbite dal calcestruzzo.

Per sezioni rettangolari piene, il momento di fessurazione può essere espresso in forma sintetica come:

con:

Tale formulazione costituisce una versione semplificata ed operativa della più generale espressione derivante dalla teoria di De Saint Venant per la torsione elastica. In essa, il coefficiente γ è un valore adimensionale funzione del coefficiente ρ, a sua volta dipendente dal rapporto tra i lati della sezione (base b e altezza h), mentre f_ctk è il valore di resistenza a trazione del calcestruzzo.

Al superamento del momento di fessurazione T_cr, il calcestruzzo si fessura a causa del raggiungimento della resistenza a trazione f_ctk. La rigidezza torsionale subisce una drastica riduzione: per elementi dotati di adeguata armatura torsionale, essa si attesta su valori pari a circa 1/5 di quella iniziale (Lampert e Thürlimann, 1968); in assenza di armatura, la rigidezza si annulla rapidamente per l’incapacità del calcestruzzo di trasmettere sforzi di trazione attraverso le fessure.

In questa fase, il comportamento torsionale si modifica radicalmente. Prove sperimentali condotte da Lampert e Thürlimann (1968) hanno dimostrato che, in condizioni fessurate, una sezione piena e una sezione cava di pari perimetro presentano la medesima risposta torsionale. Ciò legittima l’adozione del modello a sezione cava equivalente, in cui si assume che il nucleo centrale sia fessurato e quindi non reagente, mentre la resistenza è affidata a una sottile parete periferica di spessore s, nella quale le tensioni tangenziali si assumono costanti.

Tale modello costituisce la base per la verifica e il progetto delle armature torsionali, come recepito dalle principali normative tecniche (NTC 2018, Eurocodice 2).

Il primo modello organico per lo studio della torsione nel calcestruzzo armato in fase fessurata (stadio II) è dovuto a Rausch (1929). Egli assimilò la trave fessurata a un traliccio spaziale tubolare, ipotizzando che, dopo la fessurazione, la resistenza fosse affidata a un “cassone” resistente periferico, mentre il nucleo centrale in calcestruzzo si considera non reagente. In questo modello ideale, gli elementi che compongono il traliccio sono:

• bielle compresse in calcestruzzo, inclinate a 45° e disposte ad elica attorno alla superficie dell’elemento;
• tiranti tesi costituiti dalle armature longitudinali e trasversali, disposte all’interno dello spessore della parete.

Il modello si basa sulla teoria tecnica della torsione per sezioni cave di spessore sottile. Il flusso delle tensioni tangenziali q che scorre nella parete è governato dalla formula di Bredt:

Dove A_m è l’area racchiusa dalla linea media della sezione cava, t è lo spessore della parete equivalente, T è il momento torcente sollecitante, τ è il valore della tensione tangenziale torsionale, assunta costante lungo lo spessore della parete.

L’evoluzione del modello a traliccio, analogamente a quanto avviene per il taglio, consente di variare l’inclinazione θ delle bielle compresse al fine di ottimizzare il progetto delle armature allo Stato Limite Ultimo (SLU). Nel momento in cui si formano le prime fessure (inizio Stadio II), l’evidenza sperimentale mostra che queste sono inclinate a circa 45°; in fase ultima, invece, la teoria della plasticità ammette un range di valori per l’angolo di inclinazione delle bielle compresse.

Le NTC 2018 consentono di assumere:

Il momento torcente resistente di progetto T_Rd è assunto pari al minimo tra tre distinte modalità di collasso:

• Collasso lato calcestruzzo (bielle compresse)
• T_Rcd = 2 * f’_cd * t * A_m * ctg(θ) / (1 + ctg²(θ))

con A_m pari all’area racchiusa entro la fibra media del perimetro della sezione, t è lo spessore della parete equivalente, e f’_cd è la resistenza a compressione di design ridotta del calcestruzzo d’anima, assunta pari a 0.5 * f_cd.

• Collasso lato armature trasversali
• T_Rsd = 2 * A_m * A_s / s * f_yd * ctg(θ)

con A_s pari all’area delle staffe e s passo delle staffe.

• Collasso lato armature longitudinali
• T_Rld = 2 * A_m * ΣA1 / u_m * f_yd / ctg(θ)

con ΣA1 pari all’area complessiva delle barre longitudinali e u_m perimetro medio del nucleo resistente.

Nella pratica progettuale, la torsione non si presenta quasi mai isolata, ma è accompagnata da taglio e momento flettente. Innanzitutto, le NTC 2018 distinguono due casi:

• Torsione primaria (di equilibrio): deriva direttamente dai carichi applicati ed è indispensabile la verifica allo SLU (“Qualora l’equilibrio statico di una struttura dipenda dalla resistenza torsionale degli elementi che la compongono, è necessario condurre la verifica di resistenza nei riguardi delle sollecitazioni torcenti.” – NTC 2018, §4.1.2.3.6);

• Torsione secondaria (di congruenza): insorge per esigenze di compatibilità deformative in strutture iperstatiche; la verifica può essere omessa se la sicurezza della struttura non dipende dalla resistenza torsionale SLU (“Qualora, invece, in strutture iperstatiche, la torsione insorga solo per esigenze di congruenza e la sicurezza della struttura non dipenda dalla resistenza torsionale, non sarà generalmente necessario condurre le verifiche.” – NTC 2018, §4.1.2.3.6).

Per quanto riguarda la crisi lato calcestruzzo, la resistenza massima di una membratura soggetta a torsione e taglio è limitata dalla resistenza delle bielle compresse di calcestruzzo. Per non eccedere tale resistenza deve essere soddisfatta la seguente condizione:

Per l’angolo ϑ delle bielle compresse di conglomerato cementizio deve essere assunto un unico valore per le due verifiche di taglio e torsione.

Le armature longitudinali calcolate nei riguardi della sollecitazione torcente, devono essere sommate a quelle calcolate nei riguardi delle verifiche per flessione. Si applicano inoltre le seguenti regole:

• Zona tesa: all’armatura longitudinale richiesta dalla sollecitazione di flessione e sforzo normale, deve essere aggiunta l’armatura richiesta dalla torsione;
• Zona compressa: se la tensione di trazione dovuta alla torsione è inferiore alla tensione di compressione nel calcestruzzo dovuta alla flessione e allo sforzo normale, non è necessaria ulteriore armatura longitudinale per torsione.

Una corretta disposizione delle armature è determinante per la duttilità e la sicurezza degli elementi soggetti a torsione. Le indicazioni che seguono sono tratte dai classici studi di Leonhardt e Mönnig (1977) e trovano ancor oggi riscontro nella consolidata prassi progettuale, pur nel rispetto dei dettami normativi vigenti (NTC 2018, Eurocodice 2).

Come prescritto da Leonhardt e Mönnig (1977), l’armatura longitudinale deve essere distribuita lungo il perimetro interno delle staffe, in modo da contrastare efficacemente le tensioni di trazione indotte dalla torsione. Per sezioni di dimensioni contenute (h, b ≤ 40 cm) è sufficiente disporre una barra per ogni angolo. Per sezioni maggiori è opportuno ripartire l’armatura con interasse 10 – 12 cm per controllare l’ampiezza delle fessure.

L’armatura longitudinale deve prevedere staffe chiuse con ganci alternati, condizione indispensabile per garantire la chiusura del flusso torsionale (Leonhardt e Mönnig, 1977). Per torsioni elevate, il passo delle staffe non deve superare i 10 cm, valore che deriva dalla pratica consolidata per garantire un adeguato confinamento e controllo della fessurazione. Negli spigoli è consigliabile disporre barre d’angolo per assorbire le forze di deviazione delle bielle compresse.

Per sezioni a cassone, Leonhardt e Mönnig (1977) forniscono indicazioni basate sullo spessore della parete:

• Per pareti con spessore t ≤ h / 6, l’armatura va disposta su entrambi i lati, poiché entrambe le facce collaborano alla resistenza torsionale;
• Per pareti con spessore t > h / 6, l’armatura sulla faccia interna non contribuisce significativamente alla resistenza torsionale.

Si riporta un esempio di calcolo relativo al caso di torsione pura di una trave in c.a. su cui nasce una torsione primaria per la presenza di un balcone.

Si utilizzano i seguenti materiali nel calcolo.

L’analisi dei carichi conduce ai seguenti risultati.

Si calcolano le azioni di progetto allo Stato limite ultimo.

Si calcolano quindi le sollecitazioni torcenti sulla trave.

Per il calcolo delle azioni interne nella trave, è stato realizzato un semplice modello FEM mediante il software CMP di Namirial S.p.A; nel modello, le estremità della trave sono perfettamente incastrate e i momenti torcenti distribuiti e concentrati sono i medesimi appena calcolati.

Si riporta il diagramma della sollecitazione di torsione.

Si procede al calcolo della resistenza a torsione ai sensi del DM 17/01/2018.

Nel caso in esame, nell’ipotesi di torsione pura non risulta quindi necessario prevedere ulteriori armature longitudinali, poiché la trave utilizzata è in grado di resistere alla sollecitazione torcente e risulta già conforme alle regole sui dettagli costruttivi riportate ai paragrafi §5.1 e §5.2 del presente articolo tecnico.

In un caso reale, tuttavia, la torsione è generalmente accompagnata da sollecitazioni di taglio e flessione. Nella prassi progettuale, si tende a considerare in molti casi la torsione come un fenomeno secondario: di conseguenza, l’armatura longitudinale della sezione è calcolata per soddisfare la sola domanda a flessione, senza considerare il tiro aggiuntivo che nasce nel traliccio inclinato per gli effetti torcenti.

Pertanto, qualora l’armatura longitudinale della sezione risulti idonea a sopportare la domanda a flessione, è necessario verificare che essa sia in grado di resistere anche alla domanda combinata di flessione e torsione. La normativa (§4.1.2.3.6 – NTC 2018) richiede esplicitamente che l’armatura longitudinale necessaria per la torsione sia sommata a quella prevista per flessione e sforzo normale, seguendo però un criterio di sovrapposizione degli effetti nelle diverse zone della sezione, non una semplice somma globale delle aree. Il procedimento si articola quindi in due fasi:

• Calcolo dell’armatura longitudinale totale a torsione: si determina l’armatura longitudinale complessiva necessaria per resistere alla sola torsione utilizzando la relazione inversa del modello a traliccio spaziale:

Questo valore rappresenta il fabbisogno totale di acciaio longitudinale, da distribuire lungo l’intero perimetro della sezione cava equivalente.

• Verifica locale dell’armatura: si procede quindi alla verifica nelle zone critiche della sezione, in particolare quella tesa per flessione.
• In zona tesa, l’area di armatura effettivamente disposta in questa zona deve soddisfare la condizione che combina gli effetti dei due fenomeni:

In zona compressa, occorre verificare che la tensione di trazione indotta dalla torsione non superi la tensione di compressione dovuta alla flessione. Qualora ciò si verifichi, sarà necessario prevedere l’eventuale integrazione di armatura anche in questa zona.

In assenza di indicazioni normative specifiche sulla ripartizione, una proposta cautelativa può considerare che metà dell’armatura torsionale ricada nella zona tesa; quindi:

Pur trattandosi di un approccio semplificato e non rigoroso dal punto di vista teorico, esso evidenzia l’importanza del considerare gli effetti torsionali nella definizione delle armature longitudinali.

In generale, nella mezzeria della trave, la torsione risulta molto contenuta e il progetto dell’armatura longitudinale è – di fatto – governato dalla sola flessione; non si hanno quindi sostanziali variazioni rispetto alla prassi corrente. Viceversa, in regioni dove si ha una modesta sollecitazione flessionale, può esserci una presenza significativa di torsione: qui, risulta opportuno verificare la necessità del contributo di armatura longitudinale aggiuntivo sopra citato.

Dal punto di vista dei dettagli costruttivi, nella pratica progettuale le sollecitazioni di torsione risultano quasi sempre associate alla presenza di taglio. Ne consegue che le zone in cui la torsione assume valori più elevati coincidono generalmente con quelle maggiormente sollecitate a taglio, come ad esempio le regioni in prossimità degli sbalzi o dei collegamenti con elementi quali i balconi. In tali aree, la buona pratica progettuale prevede l’adozione di un passo delle staffe più contenuto, al fine di migliorare il comportamento della sezione nei confronti delle azioni combinate di taglio e torsione. Tuttavia, è importante osservare che queste stesse zone sono tipicamente già caratterizzate, per esigenze costruttive e per la presenza di dettagli in ambito dissipativo, da un naturale infittimento delle armature trasversali. Tale incremento non deriva da una specifica verifica a torsione, ma da regole di dettaglio proprie della progettazione sismica. Di conseguenza, nella maggior parte dei casi non risulta necessario prevedere ulteriori staffe dedicate esclusivamente alla torsione, in quanto la quantità di armatura trasversale presente è già ampiamente sufficiente.

Resta in ogni caso necessario il rispetto delle prescrizioni normative: la verifica di resistenza in presenza combinata di taglio e torsione deve essere eseguita in accordo alle relazioni previste dalla normativa vigente, come illustrato nel §4.1 del presente articolo.

Per lo studio della torsione nel calcestruzzo armato, il modello a traliccio con inclinazione variabile dei puntoni compressi rappresenta lo strumento più flessibile e aderente al reale comportamento con calcestruzzo fessurato.

Gli aspetti critici rimangono prevalentemente legati alla corretta disposizione delle armature – in particolare per il controllo della fessurazione e la protezione degli spigoli – e alla modellazione dell’interazione con taglio e flessione, soprattutto in presenza di sollecitazioni di grande entità.

L’evoluzione dei modelli numerici e il progressivo affinamento delle indicazioni normative rappresenteranno un importante ambito di sviluppo della ricerca nel campo del comportamento torsionale delle strutture in calcestruzzo armato, con particolare riguardo agli effetti combinati di flessione e torsione.

Leonhardt F., Mönnig E. – Le basi del dimensionamento nelle costruzioni in cemento armato, Vol. I, 1973.

Leonhardt F., Mönnig E. – L’armatura nelle costruzioni in cemento armato, Vol. III, 1977.

Cosenza E., Manfredi G., Pecce M. – Strutture in cemento armato. Basi della progettazione, Hoepli, 2015.

NTC 2018 – Norme Tecniche per le Costruzioni, D.M. 17/01/2018.

Ndreu A. – La torsione nel calcestruzzo armato, Tesi di Laurea Triennale, Università degli Studi di Parma, A.A. 2021 – 2022.